Виникнення геометрії

Виникнення геометрії сягає глибокої давнини і було обумовлено практичними потребами людської діяльності (необхідністю вимірювання земельних ділянок, вимірювання об’ємів різних тіл і т. д.). Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів. З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала». У цій книзі вперше була зроблена спроба дати систематичну побудову планіметрії на базі основних невизначених геометричних понять і аксіом (постулатів). Особливе місце в історії математики займає п’ятий постулат Евкліда (аксіома про паралельні прямі). Довгий час математики безуспішно намагалися вивести п’ятий постулат з інших постулатів Евкліда і лише в середині XIX століття завдяки дослідженням М. І. Лобачевського, Б. Рімана і Я. Бояї стало ясно, що п’ятий постулат не може бути виведений з інших, а система аксіом, запропонована Евклідом, є не єдино можлива.«Начала» Евкліда справили величезний вплив на розвиток математики. Ця книга протягом більш ніж 2-х тисяч років була не тільки підручником з геометрії, але і служила відправним пунктом для дуже багатьох математичних досліджень, в результаті яких виникли нові самостійні розділи математики.Систематична побудова геометрії зазвичай проводиться за таким планом: I. Перераховуються основні геометричні поняття, які вводяться без визначень. II. Дається формулювання аксіом геометрії. III. На основі аксіом та основних геометричних понять формулюються інші геометричні поняття і теореми.

Джерело:  А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука»

 Дійсні числа. Історична довідка

Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з’явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації.

Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив’язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів. Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов’язаного з перерахунком конкретних предметів) з’являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів.

Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов’язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.

Введення від’ємних чисел було викликано розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи рішення арифметичних завдань незалежно від їхнього конкретного змісту і вихідних числових даних. Від’ємні числа систематично вживалися індійськими математиками ще у VI-XI століттях. У європейській науці від’ємні числа остаточно ввійшли у вжиток лише після робіт Р. Декарта в XVII столітті, який дав їх геометричне тлумачення.

Подальше розширення поняття числа відбулося в XVII столітті в період зародження сучасної математики, коли виникла необхідність ввести чітке визначення поняття числа. Таке визначення було дано одним з основоположників математичного аналізу І. Ньютоном у «Загальній арифметиці»:

«Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої нами за одиницю».

Це формулювання дає єдине визначення дійсного числа, як раціонального, так і ірраціонального. (Про існування несумірних відрізків, відношення яких є число ірраціональне, було відомо ще вченим Стародавньої Греції.)

Надалі, у 70-х роках XIX століття сувора теорія дійсного числа була розвинена в роботах Р. Дедекінда, Г. Кантора та К. Вейєрштрасса.

Джерело: А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука»